Понятие "функция". Элементарные функции
Определение
Функция — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго множества. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной x однозначно определяет значение выражения x2, также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологического отца. Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.
История
Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному.
Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.
Способы задания функции
Аналитический способ
Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства.
Примеры:
Функция, заданная одной формулой:
Кусочно-заданная функция:
Неявно заданная функция:
Табличный способ
Табличный способ — это способ задания функции с помощью таблицы со значениями.
Графический способ
Функцию можно также задать с помощью графика. Графический способ — это способ задания функции с помощью графика. В этом случае аргумент является абсциссой точки, а значение функции, соответствующее данному аргументу, ординатой.
Элементарные функции
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
- степенная функция с любым действительным показателем;
- показательная и логарифмическая функции;
- тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Свойства элементарных функций
Свойства основных элементарных функций:
- область определения функции;
- поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
- четность и нечетность;
- область значений функции;
- промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;
- промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
- наклонные и горизонтальные асимптоты;
- особые точки функций;
- особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).